矩阵 $A$ 的逆矩阵是 $A^{-1}$，仅当：
\[A×A^{-1}=A^{-1}×A=I\]$I$ 是单位矩阵。它是矩阵里的 “1”：
\[I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]单位矩阵可以是 $2×2$、$3×3$ 或 $4×4$ 等等。
求矩阵
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ -2 & 1 & 3 \\\\ 2 & -3 & 2 \end{bmatrix}\]的逆矩阵。
解：
将矩阵与单位矩阵排在一起，然后做初等行变换
\[\left[ \begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & -3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\]通过 $R_{2}=R_{2} + 2R_{1}$ 和 $R_{3}=R_{3}-2R_{1}$ 行变换，可以得到
\[\left[ \begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 4 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -3 & -2 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right]\]通过 $R_{3}=R_{3} + 3R_{2}$ 行变换，可以得到
\[\left[ \begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 4 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 10 & 4 & 3 & 1 \end{array} \right]\]通过 $R_{3}=R_{3}÷10$ 行变换，可以得到
\[\left[ \begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 4 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & \frac{1}{10} \end{array} \right]\]通过 $R_{1} = R_{1} - 2R_{3}$ 和 $R_{2} = R_{2} - 4R_{3}$ 行变换，可以得到
\[\left[ \begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\\\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} \\\\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & \frac{1}{10} \end{array} \right]\]因此，可以得到矩阵 A 的逆矩阵
\[A^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\\\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} \\\\ \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & \frac{1}{10} \end{bmatrix}\]在矩阵世界里是没有除法概念的。但我们可以乘以逆矩阵，这和除是相同的。
假设已知矩阵 $A$ 和 $B$，而需要求矩阵 X：
\[XA=B\]如果等号量表可以除以 $A$ 就好了，但矩阵不能做除法。
可是，在等式两边乘以 $A^{-1}$ 是可行的：
\[XAA^{-1}=BA^{-1}\]因为 $AA^{-1}=I$，所以
\[XI=BA^{-1}\]拿走 $I$ (和把 “1” 从数字式子 $1x=ab$ 拿走一样)：
\[X=BA^{-1}\]在矩阵乘法时，次序是重要的。$AB$ 几乎永远都不会等于 $BA$。